Mathematica Eterna
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Abstrakt

Alternative (orientierte) singuläre Cochains und das modifizierte Cup-Produkt

Taliya Sahihi und Homayoon Eshraghi

Ein spezieller Unterkomplex des singulären Kettenkomplexes für einen topologischen Raum, der historisch als orientierter singulärer Kettenkomplex bezeichnet wurde, wird hier mit dem neuen Namen „alternativer“ singulärer Kettenkomplex verwendet. Es war bereits bekannt, dass dieser Unterkomplex und damit auch sein dualer Komplex kettenhomotopieäquivalent zu singulären Ketten bzw. Koketten sind und daher dieselbe Homologie und Kohomologie aufweisen. Hier wird neben der Wiederholung einiger Aspekte dieses Unterkomplexes gezeigt, dass alternative singuläre Koketten (Dual von alternativen singulären Ketten) mit Koeffizienten in rationalen oder reellen Zahlen tatsächlich Summanden singulärer Koketten durch eine natürliche Aufspaltung sind. Es wird gezeigt, dass diese natürliche Aufspaltung auch für Kohomologien gilt: In jeder Ordnung spaltet sich die singuläre Kohomologie in die alternative Kohomologie und einen weiteren Summanden auf, der Null ist, wenn der betrachtete topologische Raum kompakt ist. Auch in diesem Fall kann ähnlich wie beim Keilprodukt für Differentialformen ein modifiziertes Cup-Produkt mit denselben algebraischen Eigenschaften wie beim Keilprodukt in Differentialformen definiert werden. Dies bietet eine Idee zur Untersuchung einiger topologischer und strukturfreier Aspekte nichtlinearer globaler Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten.