Mathematica Eterna
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Abstrakt

Lévy-Prozesse, Martingale, umgekehrte Martingale und orthogonale Polynome

Paweł J. Szabęowski

Wir untersuchen eine Klasse von Lévy-Prozessen, deren Verteilungen durch Momente bestimmbar sind. Wir definieren ein System polynomischer Martingale fMn(Xt ; t); F tgn 1 ; wobei F t eine geeignete, unten definierte Öltration ist. Wir stellen mehrere Eigenschaften dieser Martingale vor. Unter anderem zeigen wir, dass M1(Xt ; t)=t sowohl ein umgekehrtes Martingal als auch ein Harnisch ist. Die Hauptergebnisse des Artikels betreffen die Frage, ob ein Martingal, sagen wir Mi, multipliziert mit einer geeigneten deterministischen Funktion i (t), ein umgekehrtes Martingal ist. Wir zeigen, dass für n 3 Mn(Xt ; t) nur dann ein umgekehrtes Martingal (oder orthogonales Polynom) ist, wenn der betreffende Lévy-Prozess eine Gauß-Verteilung ist (d. h. ein Wiener-Prozess). Wir untersuchen auch eine allgemeinere Frage, ob es Chancen für eine Linearkombination (mit von t abhängigen Koeffizienten) von Martingalen Mi ; i = 1; gibt. : : : ; n sind umgekehrte Martingale. Wir analysieren den Fall n = 2 im Detail und listen alle möglichen Fälle auf.