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Abstrakt

Zum Zusammenhang zwischen den Werten der Riemannschen Zetafunktion bei rationalen und verallgemeinerten harmonischen Zahlen

Paweł J. Szabęowski

Mithilfe der Euler-Transformation von Reihen setzen wir Werte der Hurwitz-Zeta-Funktion (s; t) bei ganzzahligen und rationalen Argumentwerten mit bestimmten schnell konvergierenden Reihen in Beziehung, in denen einige verallgemeinerte harmonische Zahlen vorkommen. Die meisten Ergebnisse dieser Arbeit lassen sich aus den jüngsten, fortgeschritteneren Ergebnissen über die Eigenschaften der Arakawa-Kaneko-Zeta-Funktionen ableiten. Wir leiten unsere Ergebnisse direkt ab, indem wir einfache Rekursionen lösen. Die Form der oben erwähnten verallgemeinerten harmonischen Zahlen enthält Informationen über die Werte der Argumente der Hurwitz-Funktion. Insbesondere beweisen wir: 8k 2 N : (k; 1) = (k) = 2 k1 2 k11 P1 n=1 H (k1) n n2n ; wobei H (k) n unten als verallgemeinerte harmonische Zahlen definiert sind, oder dass K = P1 n=0 n!(H2n+1Hn=2) 2(2n+1)!! ; wobei K die Calatan-Konstante und Hn die n-te (gewöhnliche) harmonische Zahl bezeichnet. Weiterhin zeigen wir, dass die erzeugende Funktion der Zahlen ^ (k) = P1 j=1(1)j1=jk , k 2 N und ^ (0) = 1=2 gleich B(1=2; 1 y; 1 + y) ist, wobei B(x; a; b) die unvollständige Betazahl bezeichnet