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Abstrakt

Optimale Ungleichungen für verallgemeinerte logarithmische und Seiffert-Mittelwerte

Shaoqin Gao, Lingling Song und Mengna You

Für r ∈ R sind der verallgemeinerte logarithmische Mittelwert Lr(a, b) und der Seiffert-Mittelwert P(a, b) zweier positiver Zahlen a und b definiert durch Lr(a, b) = a, für a = b, Lr(a, b) = [(br − ar )/r(b− a)] 1 r−1, für r 6 = 1, r 6 = 0 und a 6 = b, Lr(a, b) = 1 e ( bbaa ) 1 b−a, für r = 1 und a 6 = b, Lr(a, b) = (b − a)/(ln b − ln a), für r = 0 und a 6 = b, und P(a, b) = (a − b)/(4 arctan pa/b − π). In diesem Artikel ermitteln wir den größten Wert α und den kleinsten Wert β, so dass die Ungleichung Lα(a, b) < P(a, b) (bzw. P(a, b) < Lβ(a, b)) für alle a, b > 0 mit a 6= b gilt.