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Abstrakt

Die Asymptotik der verallgemeinerten Bessel-Funktion

RB Paris

Wir zeigen, wie die Asymptotik für große |z| der verallgemeinerten Bessel-Funktion 0Ψ1(z) = X∞ n=0 zn Γ(an + b)n!, wobei a > −1 und b eine beliebige Zahl (reell oder komplex) ist, durch Ausnutzung der gut etablierten asymptotischen Theorie der verallgemeinerten Wright-Funktion pΨq(z) erhalten werden kann. Im Anhang wird eine Zusammenfassung dieser Theorie gegeben und ein Algorithmus zur Bestimmung der Koeffizienten in den zugehörigen Exponentialentwicklungen erörtert. Wir widmen dem Fall a = − 1 2 besondere Aufmerksamkeit, wo die Entwicklung für z → ±∞ aus einem exponentiell kleinen Beitrag besteht, der einem Stokes-Phänomen unterliegt. Wir untersuchen auch die unterschiedliche Natur der asymptotischen Erweiterungen als Funktion von arg z, wenn −1 < a < 0, und berücksichtigen dabei das Stokes-Phänomen, das bei den Strahlen arg z = 0 und arg z = ±π(1 + a) für die zugehörige Funktion 1Ψ0(z) auftritt. Diese Bereiche sind präziser als die von Wright in seinem Artikel von 1940 angegebenen. Es werden numerische Berechnungen durchgeführt, um mehrere der in dem Artikel entwickelten Erweiterungen zu verifizieren.