Mathematica Eterna
Offener Zugang

Abstrakt

Theorie der algebraischen Funktionen auf der Riemannschen Sphäre

John Nixon

Die Riemann-Kugel (S) wird als komplexe Ebene zusammen mit dem Punkt im Unendlichen definiert. Algebraische Funktionen werden als Teilmengen von S × S definiert, sodass ein bivariates Polynom auf S Null ergibt. Es wird gezeigt, dass die Menge der algebraischen Funktionen unter Addition, Multiplikation, Komposition, Inversion, Vereinigung und Differenzierung abgeschlossen ist. Singuläre Punkte werden als Punkte definiert, an denen die Funktion nicht lokal 1 zu 1 ist. Es wird eine allgemeine Methode zur Berechnung der singulären Punktparameter angegeben, d. h. ein topologisches Windungszahlverhältnis, ein Stärkekoeffizient und eine Position in S × S, und es wird argumentiert, dass die Topologie einer algebraischen Funktion nur von den Windungszahlverhältnissen aller ihrer singulären Punkte abhängt. Nachdem gezeigt wurde, wie die meisten dieser singulären Punktparameter unter Abschlussoperationen berechnet werden können und dass eine Funktion ohne singuläre Punkte linear ist, folgt, dass die Menge aller Quadrupel singulärer Punktparameter eine algebraische Funktion eindeutig bestimmt.